椭圆的知识点总结
椭圆是数学几何的基本知识点，也是考试中的重点。下面就随小编一起去阅读椭圆的知识点总结，相信能带给大家启发。
椭圆的知识点总结
一、教学目标
1.掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率;
2.掌握椭圆标准方程中a、b、c关系;
3.能根据条件利用工具画出椭圆.
二、教学重点：椭圆的几何性质
教学难点：椭圆离心率与椭圆关系
三、教学过程：
(一)、复习回顾：
(1) 椭圆的定义
(2) 椭圆的标准方程
(3) 椭圆中a,b,c的关系
(二)、讲授新课：
1.范围：
椭圆位于直线和所围成的矩形里.
原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标(x,y)都适合不等式 即, 2.对称性：
从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看：
(1)把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称;
(2)把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称;
(3)把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。
3.顶点：
令 x=0，得 y=?，说明椭圆与 y轴的交点?(-a,0), (a,0)
令 y=0，得 x=?说明椭圆与 x轴的交点?(0，-b), (0,b)
(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
(2)长轴、短轴：线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b;
(3)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长;
4.离心率：
椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率.
说明①因为所以.
②e越接近1，则c越接近a，从而越小，因此椭圆越扁;反之，e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆;
③当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆.
[对于上述性质要求学生熟练掌握，并能由此推出焦点在y轴的椭圆标准方程的几何性质(要求学生自己归纳)，并能根据椭圆方程得到相应性质.]
(三)典型例题
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形.
解：把已知方程化成标准方程这里a=5,b=4,所以.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率，两个焦点分别是F1(-3，0)和F2(3，0)，椭圆的四个顶点是A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-4)和B2(0，4).
将已知方程变形为，根据在0范围算出几个点坐标：
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆.
说明：①本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性.
②根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形;由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点;用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性.
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点P(-3，0)、Q(0，-2); 解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点.于是得
a=3，b=2.
又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为
(2)由已知，
∴ a=10，c=6.
∴ b2=102-62=64.
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的'标准方程为
例3 如图8-8，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km.求卫星运行的轨道方程(精确到1km).
解：如图8-8，建立直角坐标系，使点A、B、F2在x轴上，F2为椭圆的右焦点(记F1为左焦点).
因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 则a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|
=6371+439=6810，
a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|
=6371+2384=8755.
解得
a=7782.5，c=972.5. 用计算器求得b≈7722.
因此，卫星的轨道方程是
(四)小结
解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关.前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质.布置学生最后小结下列表格：
五、作业
1.求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标：
(1)25 +4100=0，
(2) +41=0.
2、.设a,b,c分别表示同一椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距长,则a,b,c的大小关系是----------
5.选择题：在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是
[ ]
A.=4y
B.+2xy+y=0
C.-4=5x
D.9+=4.
6.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (2)长轴是短轴的3倍，椭圆经过点P(3，0);
(3)离心率等于0.8，焦距是8.
7.点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
